Parité de trois fonctions

Une étude de parité commence toujours par le domaine : il doit être symétrique par rapport à $0$, sans quoi la question ne se pose même pas.

La fonction $f$. Le dénominateur $x^2+1$ ne s'annule jamais, donc $D_f=\mathbb{R}$, qui est symétrique. Calculons : $$f(-x)=\frac{-x}{(-x{)}^2+1}=\frac{-x}{x^2+1}=-f(x).$$ La fonction $f$ est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

La fonction $g$. De même $D_g=\mathbb{R}$. Et $$g(-x)=\frac{(-x{)}^2-1}{(-x{)}^2+1}=\frac{x^2-1}{x^2+1}=g(x).$$ La fonction $g$ est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

La fonction $h$. Ici $D_h=\mathbb{R}\setminus \{2\}$, qui n'est pas symétrique par rapport à $0$ : $-2$ appartient au domaine, $2$ non. La question de la parité ne se pose donc pas, et $h$ n'est ni paire ni impaire.

On peut aussi le voir sur les valeurs : $h(1)=-1$ tandis que $h(-1)=-\frac{1}{3}$. Ces deux nombres ne sont ni égaux ni opposés, ce qui suffit à écarter les deux parités.

Ce qu'il faut retenir. Le calcul de $f(-x)$ se compare à $f(x)$ et à $-f(x)$ ; le résultat le plus fréquent est « ni l'un ni l'autre ».