Quatre limites en l'infini

Le théorème du cours, valable uniquement en l'infini : une fraction rationnelle a la même limite que le quotient de ses monômes de plus haut degré, et une fonction polynomiale la même limite que son monôme de plus haut degré.

Première limite. Les monômes dominants sont $3x^4$ et $-2x^4$ : $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^4+1}{-2x^4+x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^4}{-2x^4}=-\frac{3}{2}.$$ On n'écrit surtout pas $\frac{\infty }{\infty }$ : on simplifie d'abord, et l'indétermination disparaît.

Deuxième limite. Il faut développer le numérateur avant de repérer son monôme dominant : $(2x+1)(x-3)=2x^2-5x-3$. Les monômes dominants sont donc $2x^2$ et $x^2$ : $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2-5x-3}{x^2+5}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2}{x^2}=2.$$

Troisième limite. Le monôme de plus haut degré de $x^2-x^3$ est $-x^3$. Quand $x\to -\infty$, $x^3\to -\infty$ donc $-x^3\to +\infty$ : $$\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^2-x^3)=+\infty .$$ On peut aussi factoriser : $x^3\left(\frac{1}{x}-1\right)$, produit d'un terme tendant vers $-\infty$ et d'un terme tendant vers $-1$.

Quatrième limite. Les monômes dominants sont $5x$ et $x^2$ : $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5x}{x^2}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5}{x}=0.$$ Le degré du dénominateur l'emporte : le quotient s'écrase vers $0$.