Quatre limites immédiates

Première limite. Une fonction polynomiale a, en l'infini, la même limite que son monôme de plus haut degré : $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(4x^3-100x^2)=\underset{x\to +\infty }{\lim }4x^3=+\infty .$$ Le coefficient $-100$ ne change rien : il agit sur un terme de degré inférieur, dominé par le premier.

Deuxième limite. Le monôme dominant est $-2x^4$. Quand $x\to -\infty$, $x^4\to +\infty$ car l'exposant est pair, donc $-2x^4\to -\infty$ : $$\underset{x\to -\infty }{\lim }(-2x^4+5x)=-\infty .$$

Troisième limite. Il n'y a pas de limite à chercher au sens des formes indéterminées : $2$ est un nombre, et une fonction polynomiale est continue sur $\mathbb{R}$. On remplace donc simplement : $$\underset{x\to 2}{\lim }(x^2+3x-1)=4+6-1=9.$$

Quatrième limite. En l'infini, une fraction rationnelle a la même limite que le quotient de ses monômes dominants : $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{7x^2-1}{x^2+3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{7x^2}{x^2}=7.$$ On ne passe jamais par $\frac{\infty }{\infty }$ : la simplification se fait avant, et il n'y a alors plus d'indétermination.