Rendre un barème continu

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 4 — Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité · Continuité

Énoncé

Une plateforme facture une commission $f (q)$ sur une vente de montant $q$ :

$f (q) = {a q + 1 q^{2} + 3 si q \leq 2, si q > 2.$

1. Calculer la limite à gauche et la limite à droite en $2$ . 2. Pour quelle valeur de $a$ la fonction est-elle continue en $2$ ? 3. Cette valeur rend-elle la commission croissante ?

Corrigé

1. À gauche, $f$ vaut $a q + 1$ , fonction polynomiale donc continue : $lim_{q \to 2^{-}} f (q) = 2 a + 1$ , qui est aussi $f (2)$ . À droite, $lim_{q \to 2^{+}} f (q) = 2^{2} + 3 = 7$ .

2. La continuité en $2$ demande que les deux limites soient égales à $f (2)$ , donc $2 a + 1 = 7$ , soit $a = 3$ .

3. Avec $a = 3$ , $f (q) = 3 q + 1$ sur $] - \infty; 2]$ , qui croît, et $f (q) = q^{2} + 3$ sur $] 2; + \infty [$ , qui croît aussi pour $q > 0$ . Comme les deux morceaux se recollent en $7$ sans saut, la commission croît bien avec le montant de la vente.

Pourquoi cela compte. Un barème qui saute crée un effet de seuil : à un centime près, deux vendeurs paieraient des commissions très différentes. Choisir $a$ pour assurer la continuité, c'est supprimer ce seuil.

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