Trois asymptotes pour une même courbe

1. Domaine et limites en l'infini. Le dénominateur $x^2-4=(x-2)(x+2)$ s'annule en $\pm 2$, donc $D_f=\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$.

En l'infini, le quotient des monômes dominants vaut $\frac{x^2}{x^2}=1$ : $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1.$$

2. Limites aux valeurs interdites. Le numérateur $x^2+1$ vaut $5$ en $x=\pm 2$ : il est strictement positif, la limite est donc infinie et son signe est celui du dénominateur.

Le trinôme $x^2-4$ a un coefficient dominant positif, donc il est négatif entre $-2$ et $2$, positif à l'extérieur. Par conséquent : $$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=+\infty ,$$ $$\underset{x\to (-2{)}^{-}}{\lim }f(x)=+\infty ,\underset{x\to (-2{)}^{+}}{\lim }f(x)=-\infty .$$

La courbe admet donc trois asymptotes : les verticales $x=-2$ et $x=2$, et l'horizontale $y=1$ des deux côtés.

3. La position par rapport à l'asymptote. On étudie le signe de la différence, ce qui est toujours la bonne manière de comparer : $$f(x)-1=\frac{x^2+1}{x^2-4}-1=\frac{x^2+1-(x^2-4)}{x^2-4}=\frac{5}{x^2-4}.$$ Le numérateur $5$ est strictement positif, donc le signe est celui de $x^2-4$ : $$f(x)>1⟺x^2-4>0⟺x\in \left]-\infty ;-2\right[\cup \left]2;+\infty \right[.$$

L'interprétation. La courbe est au-dessus de son asymptote horizontale à l'extérieur de $[-2;2]$, et au-dessous entre $-2$ et $2$. Elle ne la coupe jamais, puisque $\frac{5}{x^2-4}$ ne s'annule pour aucun $x$.