Trois ensembles de définition

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 4 — Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité · Domaines et parité

Énoncé

Déterminer l'ensemble de définition de $f (x) = \frac{5}{x + 7}, g (x) = 2 x - 8, h (x) = \frac{x - 1}{x ^{2} - 25} .$

Corrigé

Deux interdits, et deux seulement : on ne divise pas par zéro, et on ne prend pas la racine carrée d'un nombre strictement négatif.

La fonction $f$ . Le dénominateur $x + 7$ s'annule pour $x = - 7$ . Cette valeur est donc écartée : $D_{f} = R ∖ {- 7} =] - \infty; - 7 [\cup] - 7; + \infty [.$

La fonction $g$ . La racine exige $2 x - 8 \geq 0$ , soit $2 x \geq 8$ , donc $x \geq 4$ — la division par $2$ , positif, conserve le sens : $D_{g} = [4; + \infty [.$ L'inégalité est large : $0 = 0$ existe, donc $4$ appartient au domaine.

La fonction $h$ . Le dénominateur $x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5)$ s'annule pour $x = 5$ et $x = - 5$ : $D_{h} = R ∖ {- 5, 5} .$ Le numérateur, lui, n'impose rien : il peut valoir n'importe quoi, y compris zéro. Seul le dénominateur commande.

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