Trois limites où le terme dominant décide

Les trois limites sont d'abord des formes indéterminées « $\infty -\infty$ » ou « $\infty +(-\infty )$ ». La méthode est toujours la même : factoriser par le terme dominant, celui qui l'emporte, pour faire apparaître un produit dont les deux facteurs ont une limite.

Première limite. On factorise par $x^3$ : $$x^3-5x^2+2=x^3\left(1-\frac{5}{x}+\frac{2}{x^3}\right).$$ Quand $x\to +\infty$, $\frac{5}{x}\to 0$ et $\frac{2}{x^3}\to 0$, donc la parenthèse tend vers $1$, tandis que $x^3\to +\infty$. Le produit tend vers $+\infty$.

Deuxième limite. On factorise par $x^4$ : $$2x^4+3x^3=x^4\left(2+\frac{3}{x}\right).$$ Quand $x\to -\infty$, la parenthèse tend vers $2$, et $x^4\to +\infty$ — c'est le point délicat : la puissance est paire, donc positive même du côté des $x$ négatifs. La limite est $+\infty$.

Troisième limite. Ici le terme dominant est $\sqrt{x}$ : $$2x-\sqrt{x}=\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}-1\right),$$ car $x=\sqrt{x}\times \sqrt{x}$ pour $x\ge 0$. Les deux facteurs tendent vers $+\infty$, donc le produit aussi.

Le point à retenir. Pour un polynôme, ce raisonnement se résume en une phrase : la limite en l'infini est celle du terme de plus haut degré. Mais la factorisation reste la justification, et c'est elle qu'on écrit dès qu'une racine carrée s'invite.