Un coût moyen et son asymptote

1. La forme demandée. On coupe le quotient en deux : $$C_m(q)=\frac{6q+450}{q}=\frac{6q}{q}+\frac{450}{q}=6+\frac{450}{q}.$$ Cette écriture sépare le coût variable unitaire, $6$ euros, du coût fixe de $450$ euros réparti sur les $q$ articles.

2. La limite. Quand $q$ devient grand, $\frac{450}{q}$ tend vers $0$, donc $$\underset{q\to +\infty }{\lim }{C}_m(q)=6.$$ La droite d'équation $y=6$ est asymptote horizontale à la courbe du coût moyen.

L'interprétation économique. Les $450$ euros de charges fixes se répartissent sur de plus en plus d'articles et finissent par ne presque plus peser ; il ne reste que le coût variable unitaire, $6$ euros. Le coût moyen s'en approche sans jamais l'atteindre, puisque $\frac{450}{q}$ reste strictement positif.

3. Deux valeurs. $$C_m(50)=6+\frac{450}{50}=6+9=15\text{ euros},$$ $$C_m(450)=6+\frac{450}{450}=6+1=7\text{ euros}.$$ Multiplier la production par $9$ a fait tomber le coût moyen de $15$ à $7$ euros, mais on ne descendra jamais sous $6$.