Un tarif de transport en deux tranches

1. Les deux limites en $50$. À gauche, c'est la première expression, qui est polynomiale donc continue : $$\underset{d\to 50^{-}}{\lim }T(d)=15+0,80\times 50=15+40=55.$$ À droite, c'est la seconde : $$\underset{d\to 50^{+}}{\lim }T(d)=a+0,50\times 50=a+25.$$ Notons aussi que $T(50)=55$, car c'est la première ligne qui s'applique en $d=50$ — l'inégalité y est large.

2. La valeur de $a$. La fonction est continue en $50$ lorsque la limite existe et vaut $T(50)$, c'est-à-dire lorsque les deux limites latérales sont égales à $55$ : $$a+25=55\text{donne}a=30.$$ Le tarif s'écrit alors $$T(d)=15+0,80d\text{ si }d\le 50,T(d)=30+0,50d\text{ si }d>50.$$

L'interprétation. Au-delà de $50$ kilomètres, le kilomètre supplémentaire n'est plus facturé $0,80$ euro mais $0,50$ euro ; la constante passe de $15$ à $30$ pour que le prix ne fasse pas de saut au moment du changement de tranche.

3. Une valeur et la croissance. $$T(80)=30+0,50\times 80=30+40=70\text{ euros}.$$ Sur $[0;50]$, $T$ est affine de coefficient $0,80>0$, donc croissante ; sur $\left]50;+\infty \right[$, elle est affine de coefficient $0,50>0$, donc croissante aussi. Comme les deux morceaux se raccordent sans saut en $50$ — c'est précisément ce qu'assure la continuité —, le tarif est croissant sur $[0;+\infty [$ tout entier.

Sans cette continuité, une course de $51$ kilomètres aurait pu coûter moins cher qu'une course de $50$.