Une courbe à deux asymptotes verticales

1. Le domaine. On factorise le dénominateur : $x^2-9=(x-3)(x+3)$, qui s'annule en $3$ et $-3$. Donc $$D_f=\mathbb{R}\setminus \{-3,3\}.$$

2. Les limites en les valeurs interdites. Le numérateur ne s'annule pas en ces points : $f(3)$ « vaudrait » $\frac{5}{0}$ et $f(-3)$ « vaudrait » $\frac{-1}{0}$. La limite est donc infinie, et seul le signe reste à déterminer, en étudiant celui du dénominateur $(x-3)(x+3)$.

Au voisinage de $3$, le facteur $x+3$ vaut environ $6>0$ : le signe du dénominateur est celui de $x-3$. À gauche de $3$ il est négatif, à droite positif ; le numérateur, lui, vaut environ $5>0$. Donc $$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f(x)=+\infty .$$

Au voisinage de $-3$, le facteur $x-3$ vaut environ $-6<0$, et le numérateur $x+2$ vaut environ $-1<0$ : leur quotient est du signe de $\frac{-1}{-6\times (x+3)}$, donc du signe de $x+3$. À gauche de $-3$ il est négatif, à droite positif : $$\underset{x\to (-3{)}^{-}}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{x\to (-3{)}^{+}}{\lim }f(x)=+\infty .$$

3. Les limites en l'infini et les asymptotes. Le quotient des monômes dominants est $\frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}$, donc $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0\text{et}\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0.$$

La courbe admet donc trois asymptotes : les droites verticales $x=-3$ et $x=3$, et la droite horizontale $y=0$ — c'est-à-dire l'axe des abscisses — en $-\infty$ comme en $+\infty$.