Une homographique et ses deux asymptotes

1. Le dénominateur s'annule pour $x=1$, donc ${\mathcal{D}}_f=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Vérifions la forme annoncée en réduisant au même dénominateur : $$2+\frac{5}{x-1}=\frac{2(x-1)+5}{x-1}=\frac{2x-2+5}{x-1}=\frac{2x+3}{x-1}=f(x).$$

2. Sur cette écriture, tout se lit.

En $\pm \infty$ : $x-1\to \pm \infty$, donc $\frac{5}{x-1}\to 0$ et $f(x)\to 2$. La droite d'équation $y=2$ est asymptote horizontale en $-\infty$ et en $+\infty$.

En $1^{-}$ : $x-1$ tend vers $0$ en restant négatif, donc $\frac{5}{x-1}\to -\infty$ et $f(x)\to -\infty$.

En $1^{+}$ : $x-1$ tend vers $0$ en restant positif, donc $\frac{5}{x-1}\to +\infty$ et $f(x)\to +\infty$.

La droite d'équation $x=1$ est asymptote verticale.

3. L'écriture décomposée rend l'inéquation immédiate : $$f(x)>2⟺2+\frac{5}{x-1}>2⟺\frac{5}{x-1}>0⟺x-1>0⟺x>1.$$ La courbe est donc au-dessus de son asymptote horizontale sur $]1;+\infty [$, et au-dessous sur $]-\infty ;1[$.

Le point à retenir. Écrire une fonction homographique sous la forme « constante $+$ reste » donne d'un coup l'asymptote horizontale, le signe de l'écart à cette asymptote, et donc la position de la courbe. Le point délicat reste le signe du dénominateur au voisinage de la valeur interdite : c'est lui, et lui seul, qui distingue $-\infty$ de $+\infty$.