Une part de marché qui plafonne

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 4 — Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité · Limites en l'infini

Énoncé

La part de marché d'une enseigne, en pourcentage, $t$ mois après son lancement, est modélisée par $p (t) = \frac{60 t + 120}{t + 8}, t \geq 0.$

1. Calculer $p (0)$ et $p (12)$ . 2. Calculer $lim_{t \to + \infty} p (t)$ et interpréter. 3. À partir de quel mois la part de marché dépasse-t-elle $50 %$ ?

Corrigé

1. Deux valeurs. $p (0) = \frac{120}{8} = 15 %, p (12) = \frac{720 + 120}{20} = \frac{840}{20} = 42 %.$

2. La limite. En $+ \infty$ , la fraction rationnelle a la même limite que le quotient de ses monômes dominants : $t \to + \infty lim p (t) = t \to + \infty lim \frac{60 t}{t} = 60.$ La droite d'équation $y = 60$ est asymptote horizontale à la courbe.

L'interprétation. La part de marché plafonne à $60 %$ : le modèle prévoit qu'elle s'en approche de plus en plus sans jamais l'atteindre. On peut le lire autrement en écrivant $p (t) = \frac{60 ( t + 8 ) - 360}{t + 8} = 60 - \frac{360}{t + 8},$ forme qui montre l'écart au plafond, $\frac{360}{t + 8}$ , décroissant vers $0$ .

3. Le seuil de $50 %$ . Sur $t \geq 0$ le dénominateur $t + 8$ est strictement positif, on peut donc multiplier l'inéquation par lui sans changer le sens : $\frac{60 t + 120}{t + 8} > 50 ⟺ 60 t + 120 > 50 t + 400 ⟺ 10 t > 280 ⟺ t > 28.$ La part de marché dépasse $50 %$ à partir du vingt-neuvième mois.

Contrôle des deux côtés. $p (28) = \frac{1 800}{36} = 50$ exactement, et $p (29) = \frac{1 860}{37} \approx 50, 3 > 50$ .

Le point délicat est la multiplication par $t + 8$ : elle n'est légitime que parce que ce facteur est positif. Avec un dénominateur de signe inconnu, il faudrait passer par un tableau de signes.

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