Convexe ou concave ?

Le théorème du cours : $f$ est convexe là où $f^{\prime \prime }\ge 0$, concave là où $f^{\prime \prime }\le 0$.

La fonction $f$. $f^{\prime }(x)=2x-5$, puis $f^{\prime \prime }(x)=2$. Cette dérivée seconde est constante et strictement positive, donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ tout entier. Sa courbe est une parabole tournée vers le haut : elle « creuse vers le haut », ce qui est bien l'image de la convexité.

La fonction $g$. $g^{\prime }(x)=-6x+1$, puis $g^{\prime \prime }(x)=-6$. Cette dérivée seconde est constante et strictement négative, donc $g$ est concave sur $\mathbb{R}$. Sa courbe est une parabole tournée vers le bas.

Ce que l'on retient au passage : un trinôme $a{x}^2+bx+c$ a pour dérivée seconde $2a$. Il est donc convexe si $a>0$ et concave si $a<0$ — jamais les deux, jamais de point d'inflexion.

La fonction $h$. $h^{\prime }(x)=3x^2$, puis $h^{\prime \prime }(x)=6x$. Cette fois le signe change : $$h^{\prime \prime }(x)<0\text{ sur }\left]-\infty ;0\right[,h^{\prime \prime }(x)>0\text{ sur }\left]0;+\infty \right[.$$ La fonction $h$ est donc concave sur $\left]-\infty ;0\right]$ et convexe sur $\left[0;+\infty \right[$. Comme $h^{\prime \prime }$ s'annule en $0$ en changeant de signe, le point $(0;0)$ est un point d'inflexion.