Convexité et point d'inflexion

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 5 — Dérivation et convexité · Convexité et point d'inflexion

Énoncé

Soit $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 12$ . Étudier la convexité de $f$ et déterminer son point d'inflexion. Donner l'équation de la tangente en ce point.

Corrigé

Les deux dérivées. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 5$ et $f^{''} (x) = 6 x - 12 = 6 (x - 2)$ .

Le signe de $f^{''}$ . Négatif pour $x < 2$ , positif pour $x > 2$ : $f$ est concave sur $] - \infty, 2]$ et convexe sur $[2, + \infty [$ .

Le point d'inflexion. $f^{''}$ s'annule en $2$ en changeant de signe : le point d'abscisse $2$ en est un, d'ordonnée $f (2) = 8 - 24 + 10 + 12 = 6$ .

La tangente. $f^{'} (2) = 12 - 24 + 5 = - 7$ , donc $y = 6 - 7 (x - 2) = - 7 x + 20$ .

Pour le tracé. La courbe passe sous cette tangente à gauche de $2$ et au-dessus à droite : elle la traverse. La pente $- 7$ rappelle au passage que convexité et sens de variation sont deux informations indépendantes.

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