Coût marginal et approximation affine

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 5 — Dérivation et convexité · Nombre dérivé, tangente et approximation affine

Énoncé

Le coût de production, en euros, de $q$ pièces est $C (q) = 0, 05 q^{2} + 3 q + 200$ . Calculer $C (101) - C (100)$ et $C^{'} (100)$ . Estimer $C (110)$ par l'approximation affine, puis comparer à la valeur exacte.

Corrigé

Le coût de la $10 1^{e}$ pièce. $C (100) = 500 + 300 + 200 = 1000$ et $C (101) = 510, 05 + 303 + 200 = 1013, 05$ , donc $C (101) - C (100) = 13, 05$ euros.

Le coût marginal. $C^{'} (q) = 0, 1 q + 3$ , donc $C^{'} (100) = 13$ . L'écart avec le calcul exact est de $0, 05$ euro, soit moins de $0, 4$ pour cent.

L'estimation en $110$ . $C (110) \approx 1000 + 13 \times 10 = 1130$ euros, alors que $C (110) = 605 + 330 + 200 = 1135$ euros : l'erreur est de $5$ euros.

Ce que l'on apprend. Pour $h = 1$ l'erreur valait $0, 05$ , pour $h = 10$ elle vaut $5$ : cent fois plus. Elle grandit comme $h^{2}$ , donc l'approximation est excellente près du point et mauvaise loin de lui.

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