Deux dérivées de quotients

La fonction $f$. Règle du quotient, avec $u=3$ et $v=x^2+2$, donc $u^{\prime }=0$ et $v^{\prime }=2x$. Le dénominateur $x^2+2$ vaut au moins $2$ : il ne s'annule jamais, la fonction est donc dérivable sur $\mathbb{R}$. $$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}=\frac{0\times (x^2+2)-3\times 2x}{(x^2+2{)}^2}=\frac{-6x}{(x^2+2{)}^2}.$$ Le carré au dénominateur est toujours positif, donc $f^{\prime }$ est du signe de $-6x$ : la fonction croît sur $\left]-\infty ;0\right]$ et décroît ensuite.

La fonction $g$. Règle du quotient, avec $u=x^2$ et $v=x+1$, donc $u^{\prime }=2x$ et $v^{\prime }=1$. Sur $\left]-1;+\infty \right[$ le dénominateur ne s'annule pas. $$g^{\prime }(x)=\frac{2x(x+1)-x^2\times 1}{(x+1{)}^2}=\frac{2x^2+2x-x^2}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}.$$

Le point de méthode. On développe le numérateur, puis on le factorise : c'est sous forme factorisée qu'une dérivée livre son signe. Ici, sur $\left]-1;+\infty \right[$, le facteur $x+2$ dépasse $1$ donc reste positif, et le signe de $g^{\prime }$ est celui de $x$ : la fonction décroît sur $\left]-1;0\right]$ puis croît.