Deux inflexions et une tangente horizontale

1. Les deux dérivées. On dérive terme à terme : $$f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+16,f^{\prime \prime }(x)=12x^2-24x=12x(x-2).$$

2. Convexité et inflexions. Le trinôme $12x(x-2)$ a pour racines $0$ et $2$, et son coefficient dominant $12$ est positif : il est donc positif à l'extérieur de ses racines et négatif entre elles. $$f^{\prime \prime }(x)>0\text{ sur }\left]-\infty ;0\right[\text{ et sur }\left]2;+\infty \right[,f^{\prime \prime }(x)<0\text{ sur }\left]0;2\right[.$$ Donc $f$ est convexe sur $\left]-\infty ;0\right]$ et sur $\left[2;+\infty \right[$, et concave sur $[0;2]$.

En $x=0$ et en $x=2$, $f^{\prime \prime }$ s'annule en changeant de signe : ce sont deux points d'inflexion. Leurs ordonnées sont $$f(0)=0,f(2)=16-32+32=16.$$ Les points d'inflexion sont donc $(0;0)$ et $(2;16)$.

3. La tangente en $x=2$. Calculons la pente : $$f^{\prime }(2)=4\times 8-12\times 4+16=32-48+16=0.$$ La tangente est donc horizontale, d'équation $$y=f(2)+f^{\prime }(2)(x-2)=16.$$

Ce qu'il faut remarquer. La dérivée s'annule en $2$, et pourtant $f$ n'y a aucun extremum : $f^{\prime \prime }$ change de signe en $2$, donc la courbe y traverse sa tangente au lieu de rebrousser. On le confirme sur les valeurs : $f(1)=1-4+16=13$ et $f(3)=81-108+48=21$, l'une en dessous de $16$ et l'autre au-dessus.

C'est le contre-exemple à garder en tête : une tangente horizontale ne signale un sommet que si la dérivée change de signe, et ce n'est pas le cas ici.