Deux pentes imposées

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 5 — Dérivation et convexité · Nombre dérivé et tangente

Énoncé

Soit $f (x) = x^{3} - 3 x$ .

1. Calculer $f^{'} (x)$ . 2. Déterminer les points de la courbe où la tangente est horizontale. 3. Déterminer les points où la tangente a pour coefficient directeur $9$ , et donner l'équation de l'une de ces tangentes.

Corrigé

1. La dérivée. On dérive terme à terme, en employant $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ et $(k u)^{'} = k u^{'}$ : $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3.$

2. Les tangentes horizontales. Une tangente est horizontale lorsque son coefficient directeur, qui est $f^{'} (a)$ , est nul. On résout donc $3 x^{2} - 3 = 0 ⟺ x^{2} = 1 ⟺ x = 1 ou x = - 1.$ Les ordonnées correspondantes sont $f (1) = 1 - 3 = - 2, f (- 1) = - 1 + 3 = 2.$ Les points cherchés sont donc $(1; - 2)$ et $(- 1; 2)$ , et les tangentes ont pour équations $y = - 2$ et $y = 2$ .

3. Les tangentes de pente $9$ . On résout $f^{'} (x) = 9$ : $3 x^{2} - 3 = 9 ⟺ 3 x^{2} = 12 ⟺ x^{2} = 4 ⟺ x = 2 ou x = - 2.$ Les ordonnées sont $f (2) = 8 - 6 = 2$ et $f (- 2) = - 8 + 6 = - 2$ . Les points sont $(2; 2)$ et $(- 2; - 2)$ .

La tangente en $x = 2$ a pour équation $y = f (2) + f^{'} (2) (x - 2) = 2 + 9 (x - 2) = 9 x - 16.$ Contrôle : en $x = 2$ , cette droite vaut $18 - 16 = 2 = f (2)$ .

Une remarque. Les deux tangentes de pente $9$ sont parallèles et distinctes : une pente donnée peut être atteinte en plusieurs points, et chaque point donne sa propre tangente.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.