Deux points d'inflexion

1. $f$ est un polynôme, deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ : $$f^{\prime }(x)=4x^3-12x,f^{\prime \prime }(x)=12x^2-12=12(x^2-1)=12(x-1)(x+1).$$

2. $f^{\prime \prime }$ est un trinôme de coefficient dominant positif : il est positif à l'extérieur de ses racines $-1$ et $1$, négatif entre elles. Donc

• $f^{\prime \prime }\ge 0$ sur $]-\infty ;-1]$ et sur $[1;+\infty [$ : $f$ y est convexe ;
• $f^{\prime \prime }\le 0$ sur $[-1;1]$ : $f$ y est concave.

3. Un point d'inflexion est un point où $f^{\prime \prime }$ s'annule en changeant de signe. C'est le cas en $-1$ (le signe passe de $+$ à $-$) et en $1$ (de $-$ à $+$). Les ordonnées valent $$f(-1)=1-6+5=0,f(1)=1-6+5=0.$$ La courbe possède donc deux points d'inflexion : $(-1;0)$ et $(1;0)$.

Attention au faux ami. Une dérivée seconde nulle ne suffit pas : pour $g(x)=x^4$, on a $g^{\prime \prime }(x)=12x^2$, qui s'annule en $0$ sans changer de signe. La courbe de $g$ est convexe partout et n'a aucun point d'inflexion.

Le point à retenir. La convexité se lit sur $f^{\prime \prime }$ seule, indépendamment du sens de variation : ici $f$ est convexe sur $[1;+\infty [$ tout en y étant croissante, et convexe sur $]-\infty ;-1]$ tout en y étant décroissante. Les deux lectures — variations et convexité — sont deux étages distincts.