Étude complète d'une fonction

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 5 — Dérivation et convexité · Variations et optimisation

Énoncé

Soit $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2$ sur $R$ .

Dresser le tableau de variation de $f$ .
Étudier la convexité et déterminer le point d'inflexion $I$ .
Vérifier que $f (1) + f (3) = 2 f (2)$ et interpréter.

Corrigé

1. Variations. $f^{'} (x) = 3 (x^{2} - 4 x + 3) = 3 (x - 1) (x - 3)$ , positive à l'extérieur des racines : $f$ croît sur $] - \infty, 1]$ , décroît sur $[1, 3]$ , croît sur $[3, + \infty [$ , avec $f (1) = 6$ (maximum local) et $f (3) = 2$ (minimum local).

2. Convexité. $f^{''} (x) = 6 (x - 2)$ , négative avant $2$ et positive après : $f$ est concave sur $] - \infty, 2]$ et convexe sur $[2, + \infty [$ , avec pour point d'inflexion $I (2; 4)$ puisque $f (2) = 4$ .

3. La vérification. $f (1) + f (3) = 8$ et $2 f (2) = 8$ : c'est vrai.

L'interprétation. $I$ est le milieu du segment joignant $(1; 6)$ et $(3; 2)$ . Une courbe de degré $3$ est symétrique par rapport à son point d'inflexion, et l'on contrôle sur un autre couple : $f (0) = 2$ , $f (4) = 6$ , et $f (0) + f (4) = 8 = 2 f (2)$ encore.

À quoi cela sert. Il suffit de tracer la moitié droite de la courbe : l'autre s'en déduit par symétrie autour de $I$ .

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