La convexité de la fonction inverse

1. Les deux dérivées. Le cours donne $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$. Pour dériver une seconde fois, écrivons $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{v}$ avec $v=x^2$ et $v^{\prime }=2x$ ; la règle du quotient donne $$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{0\times x^2-1\times 2x}{x^4}=\frac{2x}{x^4}=\frac{2}{x^3}.$$

2. La convexité. Le théorème du cours : $f$ est convexe là où $f^{\prime \prime }\ge 0$, concave là où $f^{\prime \prime }\le 0$. Le signe de $\frac{2}{x^3}$ est celui de $x^3$, donc celui de $x$.

Sur $\left]0;+\infty \right[$ : $f^{\prime \prime }(x)>0$, donc $f$ est convexe. Sa courbe y est au-dessus de chacune de ses tangentes et au-dessous de chacune de ses cordes — c'est la branche qui « creuse vers le haut ».

Sur $\left]-\infty ;0\right[$ : $f^{\prime \prime }(x)<0$, donc $f$ est concave.

3. Aucun point d'inflexion. Un point d'inflexion est un point de la courbe où $f^{\prime \prime }$ s'annule en changeant de signe. Ici $f^{\prime \prime }$ change bien de signe en traversant $0$, mais $0$ n'appartient pas au domaine de $f$ : il n'y a aucun point de la courbe d'abscisse $0$, donc aucun point d'inflexion.

Le point délicat est exactement là. On serait tenté de dire que la courbe « passe de concave à convexe en $0$ », mais elle n'y passe pas : elle est coupée en deux branches séparées par une asymptote verticale. Un changement de convexité entre deux branches disjointes n'est pas une inflexion.

Contrôle. Une fonction convexe a une dérivée croissante. Sur $\left]0;+\infty \right[$, $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$ vaut $-1$ en $1$ et $-0,25$ en $2$ : elle croît bien.