Le bénéfice maximal

1. La dérivée et son signe. $$B^{\prime }(q)=-4q+48=-4(q-12).$$ Le coefficient $-4$ est négatif, donc $B^{\prime }$ est positive avant $12$ et négative après : $$B^{\prime }(q)>0\text{ sur }[0;12[,B^{\prime }(12)=0,B^{\prime }(q)<0\text{ sur }]12;30].$$

2. Le maximum. Le bénéfice croît puis décroît : il est maximal en $q=12$, et $$B(12)=-2\times 144+48\times 12-180=-288+576-180=108.$$ L'entreprise doit donc vendre $12$ tonnes et gagne alors $108$ milliers d'euros.

Contrôle de part et d'autre : $B(10)=-200+480-180=100$ et $B(15)=-450+720-180=90$. Les deux sont inférieurs à $108$.

3. L'intervalle de rentabilité. On résout $B(q)\ge 0$, soit $-2q^2+48q-180\ge 0$. En divisant par $-2$, ce qui inverse le sens : $$q^2-24q+90\le 0.$$ Le discriminant vaut $\Delta =576-360=216$, donc $\sqrt{\Delta }\approx 14,70$ et les racines sont $$\frac{24-14,70}{2}\approx 4,65,\frac{24+14,70}{2}\approx 19,35.$$ Le coefficient dominant vaut $1>0$, donc l'expression est négative entre les racines. L'entreprise est bénéficiaire pour $$q\in [4,65;19,35]\text{ environ.}$$