Le bénéfice maximal

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 5 — Dérivation et convexité · Signe de la dérivée et variations

Énoncé

Une entreprise vend $q$ tonnes d'un produit, avec $q \in [0; 30]$ . Son bénéfice, en milliers d'euros, est $B (q) = - 2 q^{2} + 48 q - 180$ .

1. Calculer $B^{'} (q)$ et étudier son signe sur $[0; 30]$ . 2. Déterminer la quantité qui rend le bénéfice maximal, et ce bénéfice. 3. Sur quel intervalle l'entreprise est-elle bénéficiaire ?

Corrigé

1. La dérivée et son signe. $B^{'} (q) = - 4 q + 48 = - 4 (q - 12) .$ Le coefficient $- 4$ est négatif, donc $B^{'}$ est positive avant $12$ et négative après : $B^{'} (q) > 0 sur [0; 12 [, B^{'} (12) = 0, B^{'} (q) < 0 sur] 12; 30] .$

2. Le maximum. Le bénéfice croît puis décroît : il est maximal en $q = 12$ , et $B (12) = - 2 \times 144 + 48 \times 12 - 180 = - 288 + 576 - 180 = 108.$ L'entreprise doit donc vendre $12$ tonnes et gagne alors $108$ milliers d'euros.

Contrôle de part et d'autre : $B (10) = - 200 + 480 - 180 = 100$ et $B (15) = - 450 + 720 - 180 = 90$ . Les deux sont inférieurs à $108$ .

3. L'intervalle de rentabilité. On résout $B (q) \geq 0$ , soit $- 2 q^{2} + 48 q - 180 \geq 0$ . En divisant par $- 2$ , ce qui inverse le sens : $q^{2} - 24 q + 90 \leq 0.$ Le discriminant vaut $Δ = 576 - 360 = 216$ , donc $Δ \approx 14, 70$ et les racines sont $\frac{24 - 14 , 70}{2} \approx 4, 65, \frac{24 + 14 , 70}{2} \approx 19, 35.$ Le coefficient dominant vaut $1 > 0$ , donc l'expression est négative entre les racines. L'entreprise est bénéficiaire pour $q \in [4, 65; 19, 35] environ.$

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