Le bénéfice maximal

Le maximum. $B^{\prime }(q)=-2q+24$, qui s'annule en $q=12$, est positive avant et négative après. Donc $B$ croît puis décroît, et

$$B(12)=-144+288-108=36.$$

Le bénéfice maximal est de $36$ milliers d'euros pour $12$ tonnes vendues.

Le seuil de rentabilité. $B(q)\ge 0$ équivaut à $q^2-24q+108\le 0$. Le discriminant vaut $576-432=144=12^2$, d'où les racines $6$ et $18$ ; un trinôme est négatif entre ses racines, donc l'entreprise est bénéficiaire pour $q\in [6,18]$.

Contrôle. $B(6)=0$ et $B(18)=0$ ; le maximum $q=12$ est au milieu, comme pour toute parabole.

Lecture par la convexité. $B^{\prime \prime }(q)=-2<0$ : $B$ est concave, donc l'annulation de $B^{\prime }$ suffisait à conclure au maximum, sans tableau de signes.