Le bénéfice maximal

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 5 — Dérivation et convexité · Variations et optimisation

Énoncé

Une entreprise vend $q$ tonnes d'un produit. Son bénéfice, en milliers d'euros, est $B (q) = - q^{2} + 24 q - 108$ pour $q \in [0, 24]$ . Déterminer la quantité qui rend le bénéfice maximal, ce bénéfice, et l'intervalle sur lequel l'entreprise est bénéficiaire.

Corrigé

Le maximum. $B^{'} (q) = - 2 q + 24$ , qui s'annule en $q = 12$ , est positive avant et négative après. Donc $B$ croît puis décroît, et

$B (12) = - 144 + 288 - 108 = 36.$

Le bénéfice maximal est de $36$ milliers d'euros pour $12$ tonnes vendues.

Le seuil de rentabilité. $B (q) \geq 0$ équivaut à $q^{2} - 24 q + 108 \leq 0$ . Le discriminant vaut $576 - 432 = 144 = 1 2^{2}$ , d'où les racines $6$ et $18$ ; un trinôme est négatif entre ses racines, donc l'entreprise est bénéficiaire pour $q \in [6, 18]$ .

Contrôle. $B (6) = 0$ et $B (18) = 0$ ; le maximum $q = 12$ est au milieu, comme pour toute parabole.

Lecture par la convexité. $B^{''} (q) = - 2 < 0$ : $B$ est concave, donc l'annulation de $B^{'}$ suffisait à conclure au maximum, sans tableau de signes.

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