Le budget publicitaire le plus rentable

1. La dérivée. On dérive d'abord $M$ par la règle du quotient, avec $u=100x$ et $v=x+4$, donc $u^{\prime }=100$ et $v^{\prime }=1$ : $$M^{\prime }(x)=\frac{100(x+4)-100x\times 1}{(x+4{)}^2}=\frac{400}{(x+4{)}^2}.$$ Puis, la dérivée d'une somme étant la somme des dérivées, $$B^{\prime }(x)=M^{\prime }(x)-1=\frac{400}{(x+4{)}^2}-1=\frac{400-(x+4{)}^2}{(x+4{)}^2}.$$

2. Le maximum. Le dénominateur est strictement positif, donc le signe de $B^{\prime }$ est celui de $400-(x+4{)}^2$. Cette expression s'annule lorsque $(x+4{)}^2=400$, c'est-à-dire $x+4=20$ (la racine négative est écartée puisque $x\ge 0$), donc en $$x=16.$$ Pour $x<16$ on a $(x+4{)}^2<400$ donc $B^{\prime }(x)>0$ ; pour $x>16$ on a $B^{\prime }(x)<0$. La dérivée s'annule en changeant de signe, du $+$ au $-$ : $B$ admet en $16$ un maximum, global sur $[0;+\infty [$. $$B(16)=\frac{1600}{20}-16=80-16=64.$$ Le budget optimal est de $16$ milliers d'euros, pour un bénéfice de $64$ milliers d'euros.

Contrôle de part et d'autre : $B(9)=\frac{900}{13}-9\approx 60,2$ et $B(25)=\frac{2500}{29}-25\approx 61,2$. Les deux sont inférieurs à $64$.

3. Un budget de $50$. $$B(50)=\frac{5000}{54}-50\approx 92,6-50=42,6.$$ Le bénéfice a nettement baissé. La marge, elle, a bien augmenté — elle est passée de $80$ à $92,6$ — mais elle plafonne à $100$ tandis que la dépense, elle, croît sans limite. Au-delà de $16$, chaque euro dépensé rapporte moins d'un euro de marge.