Le coût marginal, en deux calculs

1. La dérivée. On dérive terme à terme : $$C^{\prime }(q)=0,04q+4,\text{donc}{C}^{\prime }(200)=8+4=12\text{ euros}.$$

2. Le coût de la pièce suivante. On calcule les deux coûts totaux : $$C(200)=0,02\times 40000+800+500=800+1300=2100,$$ $$C(201)=0,02\times 40401+804+500=808,02+1304=2112,02.$$ La différence vaut donc $$C(201)-C(200)=12,02\text{ euros}.$$

3. La comparaison. Les deux nombres, $12$ et $12,02$, diffèrent de $2$ centimes seulement. C'est l'approximation affine du cours : pour $h=1$, $$C(q+1)-C(q)\approx C^{\prime }(q).$$ On remplace la courbe par sa tangente sur un intervalle de longueur $1$, et l'écart commis est minime.

Ce qu'il faut retenir. C'est précisément pour cette raison que les économistes appellent coût marginal la fonction dérivée $C^{\prime }$ elle-même : elle donne, à quelques centimes près, le coût de la pièce suivante, et elle est bien plus commode à manipuler qu'une différence.