Le coût moyen croise le coût marginal

1. Coût moyen et sa dérivée. En divisant terme à terme, $$CM(q)=\frac{0,25q^2+2q+36}{q}=0,25q+2+\frac{36}{q}.$$ La dérivée de $\frac{36}{q}$ étant $-\frac{36}{q^2}$, $$C{M}^{\prime }(q)=0,25-\frac{36}{q^2}=\frac{0,25q^2-36}{q^2}.$$

2. Le minimum. $C{M}^{\prime }(q)$ s'annule lorsque $0,25q^2=36$, soit $q^2=144$, donc $q=12$ (la racine négative est hors du domaine). Le numérateur $0,25q^2-36$ est un trinôme de coefficient dominant positif, donc négatif entre ses racines $-12$ et $12$, positif au-delà : sur $\left]0;+\infty \right[$, $C{M}^{\prime }$ est négative avant $12$, positive après.

Le coût moyen décroît puis croît : il est minimal en $q=12$, et $$CM(12)=0,25\times 12+2+\frac{36}{12}=3+2+3=8\text{ euros}.$$

3. Le résultat général. Écrivons $CM=\frac{C}{q}$ et dérivons ce quotient, avec $u=C(q)$ et $v=q$ : $$C{M}^{\prime }(q)=\frac{C^{\prime }(q)q-C(q)}{q^2}.$$ Le dénominateur $q^2$ étant strictement positif, $C{M}^{\prime }(q)=0$ équivaut à $C^{\prime }(q)q=C(q)$, c'est-à-dire, en divisant par $q\ne 0$, $$C^{\prime }(q)=\frac{C(q)}{q}=CM(q).$$ Le coût moyen est donc extrémal exactement là où le coût marginal égale le coût moyen.

Vérification. Ici $C^{\prime }(q)=0,5q+2$, donc $C^{\prime }(12)=6+2=8$, ce qui est bien $CM(12)=8$.

La lecture économique. Tant que le dernier article coûte moins cher que la moyenne, il tire la moyenne vers le bas ; dès qu'il coûte plus cher, il la tire vers le haut. Le minimum est donc atteint au croisement des deux courbes.