Le coût moyen minimal

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 5 — Dérivation et convexité · Variations et optimisation

Énoncé

Le coût total de $q$ articles ( $q > 0$ ) est $C (q) = q^{2} + 4 q + 100$ . On note $C M (q) = \frac{C ( q )}{q}$ le coût moyen. Déterminer le $q$ qui rend $C M$ minimal, puis comparer $C M$ et $C^{'}$ en ce point.

Corrigé

Le coût moyen. $C M (q) = q + 4 + \frac{100}{q}$ .

Sa dérivée. $C M^{'} (q) = 1 - \frac{100}{q ^{2}} = \frac{q ^{2} - 100}{q ^{2}}$ .

Le signe. Le dénominateur est positif ; le numérateur $q^{2} - 100 = (q - 10) (q + 10)$ est négatif pour $0 < q < 10$ et positif ensuite. Donc $C M$ décroît puis croît : elle est minimale en $q = 10$ , où $C M (10) = 10 + 4 + 10 = 24$ euros par article.

La comparaison. $C^{'} (q) = 2 q + 4$ , donc $C^{'} (10) = 24$ : le coût marginal égale le coût moyen au minimum de celui-ci.

Pourquoi toujours. $C M^{'} = \frac{C ^{'} ( q ) q - C ( q )}{q ^{2}}$ s'annule si et seulement si $C^{'} (q) = C M (q)$ : ce n'est pas propre à cet exemple, c'est la règle du quotient.

Contrôle. $C M (5) = C M (20) = 29$ , de part et d'autre du minimum $24$ .

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