Le nombre dérivé d'un inverse

1. Pour $h\ne 0$ assez petit pour que $2+h>0$, le taux d'accroissement est $$\tau (h)=\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}}{h}.$$ On met le numérateur au même dénominateur — c'est là qu'est tout le travail : $$\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}=\frac{2-(2+h)}{2(2+h)}=\frac{-h}{2(2+h)}.$$ En divisant par $h$, qui est non nul, il se simplifie : $$\tau (h)=\frac{-h}{2(2+h)}\times \frac{1}{h}=\frac{-1}{2(2+h)}.$$

2. Quand $h$ tend vers $0$, le dénominateur $2(2+h)$ tend vers $4$, donc $$f^{\prime }(2)=\underset{h\to 0}{\lim }\tau (h)=-\frac{1}{4}.$$ Contrôle. La dérivée de $\frac{1}{x}$ est $-\frac{1}{x^2}$, qui vaut bien $-\frac{1}{4}$ en $2$.

3. La tangente au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$. Ici $f(2)=\frac{1}{2}$ et $f^{\prime }(2)=-\frac{1}{4}$ : $$y=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x-2)=-\frac{x}{4}+1.$$

Le point à retenir. Le taux d'accroissement se présente toujours comme une fraction dont le numérateur tend vers $0$ : impossible de conclure avant d'avoir simplifié le $h$. La mise au même dénominateur est le seul geste à maîtriser pour les fonctions en $\frac{1}{x}$.