Le prix qui maximise le bénéfice

1. Le prix dépend de la quantité vendue : la recette n'est donc pas proportionnelle à $q$. $$R(q)=p\times q=(60-0,5q)q=60q-0,5q^2,$$ puis $$B(q)=R(q)-C(q)=60q-0,5q^2-10q-200=-0,5q^2+50q-200.$$

2. $B$ est un polynôme, donc dérivable sur $[0;120]$, et $$B^{\prime }(q)=-q+50.$$ $B^{\prime }(q)>0$ pour $q<50$, $B^{\prime }(50)=0$, $B^{\prime }(q)<0$ pour $q>50$. Donc $B$ est croissante sur $[0;50]$ puis décroissante sur $[50;120]$ : elle admet un maximum en $q=50$.

3. La quantité optimale est $q=50$ articles. Le prix correspondant est $$p=60-0,5\times 50=35\text{ euros},$$ et le bénéfice maximal $$B(50)=-0,5\times 2500+2500-200=-1250+2300=1050\text{ euros}.$$

4. $B^{\prime \prime }(q)=-1<0$ sur tout l'intervalle : $B$ est concave. Une fonction concave dont la dérivée s'annule en un point y atteint son maximum — c'est le corollaire du cours, appliqué à $-B$ qui est convexe. On retrouve donc le maximum en $q=50$ sans tableau de variation.

Le point à retenir. Le piège est de traiter le prix comme une donnée fixe : ici, vendre plus oblige à vendre moins cher, et c'est cet arbitrage qui crée un maximum. La dérivée seconde fournit ensuite une seconde lecture, plus rapide que le tableau, quand la fonction est concave ou convexe sur tout l'intervalle.