Le seuil de rendements décroissants

1. $P^{\prime }(q)=-3q^2+24q+60$ et $P^{\prime \prime }(q)=-6q+24=-6(q-4)$.

$P^{\prime \prime }$ est positive sur $[0;4[$ et négative sur $]4;10]$ : $P$ est convexe puis concave, et $P^{\prime \prime }$ s'annule en $4$ en changeant de signe. Le point d'inflexion est donc $(4;P(4))$ avec $P(4)=-64+192+240=368$.

2. La productivité marginale est $P^{\prime }$. Sa dérivée est $P^{\prime \prime }$, positive avant $4$ et négative après : $P^{\prime }$ croît sur $[0;4]$ puis décroît sur $[4;10]$, donc elle est maximale en $q=4$, où elle vaut $$P^{\prime }(4)=-48+96+60=108.$$ Le point d'inflexion est exactement le seuil de rendements décroissants : au-delà, chaque ouvrier supplémentaire apporte moins que le précédent.

3. La tangente en $6$ a pour équation $y=P(6)+P^{\prime }(6)(q-6)$, avec $P(6)=-216+432+360=576$ et $P^{\prime }(6)=-108+144+60=96$. Posons l'écart $$d(q)=P(q)-(576+96(q-6)).$$ Alors $d^{\prime }(q)=P^{\prime }(q)-96=-3q^2+24q-36=-3(q^2-8q+12)=-3(q-2)(q-6)$.

Le signe de $d^{\prime }$ est donc : positif sur $[2;6]$, négatif sur $[6;10]$. Ainsi $d$ croît puis décroît, et atteint son maximum en $q=6$. Or $d(6)=576-576=0$. Donc $d(q)\le 0$ pour tout $q$ de $[2;10]$ : la courbe est au-dessous de sa tangente en $6$.

Contrôle. En $q=10$ : $P(10)=800$ contre $576+384=960$ pour la tangente.

Le point à retenir. La convexité donne la position par rapport aux tangentes, mais seulement là où elle a lieu : $P$ est convexe sur $[2;4]$, et pourtant sa courbe y reste sous la tangente prise en $6$, point de la zone concave. Hors de la zone de convexité, on revient au signe de l'écart $d=P-T$.