Le stock qui coûte le moins cher

1. La dérivée. La dérivée de $\frac{1}{q}$ est $-\frac{1}{q^2}$, donc $$C^{\prime }(q)=-\frac{4800}{q^2}+3=\frac{3q^2-4800}{q^2}=\frac{3(q^2-1600)}{q^2}=\frac{3(q-40)(q+40)}{q^2}.$$

2. Le minimum. Sur $\left]0;+\infty \right[$, le dénominateur $q^2$ est strictement positif et le facteur $q+40$ dépasse $40$ : le signe de $C^{\prime }$ est donc celui de $q-40$. $$C^{\prime }(q)<0\text{ sur }\left]0;40\right[,C^{\prime }(40)=0,C^{\prime }(q)>0\text{ sur }\left]40;+\infty \right[.$$ La fonction $C$ décroît puis croît : elle admet en $q=40$ un minimum, global sur l'intervalle. Sa valeur est $$C(40)=\frac{4800}{40}+3\times 40=120+120=240\text{ euros}.$$ La taille de lot optimale est donc de $40$ unités, pour un coût annuel de $240$ euros.

Contrôle de part et d'autre : $C(30)=160+90=250$ et $C(50)=96+150=246$. Les deux dépassent bien $240$.

3. L'égalité des deux frais. Au point optimal, les frais de commande valent $\frac{4800}{40}=120$ euros et les frais de stockage $3\times 40=120$ euros : ils sont égaux.

Ce n'est pas un hasard. L'équation $C^{\prime }(q)=0$ s'écrit $\frac{4800}{q^2}=3$, donc, en multipliant les deux membres par $q$, $$\frac{4800}{q}=3q.$$ Le coût est minimal exactement quand les deux postes s'équilibrent — un résultat classique de gestion des stocks, que la dérivée démontre en trois lignes.