Quatre dérivées

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 5 — Dérivation et convexité · Calculs de dérivées

Énoncé

Dériver, en nommant la règle employée :

$f (x) = 3 x^{4} - 5 x^{2} + 7 x - 2$ ;
$g (x) = (2 x + 1) (x^{2} - 3)$ ;
$h (x) = \frac{3 x - 1}{x + 2}$ sur $] - 2, + \infty [$ ;
$k (x) = (x^{2} + 1)^{3}$ .

Corrigé

1. Somme et multiple. $f^{'} (x) = 12 x^{3} - 10 x + 7$ .

2. Produit. Avec $u = 2 x + 1$ et $v = x^{2} - 3$ :

$g^{'} (x) = 2 (x^{2} - 3) + (2 x + 1) (2 x) = 2 x^{2} - 6 + 4 x^{2} + 2 x = 6 x^{2} + 2 x - 6.$

3. Quotient. Avec $u = 3 x - 1$ et $v = x + 2$ :

$h^{'} (x) = \frac{3 ( x + 2 ) - ( 3 x - 1 ) \times 1}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{7}{( x + 2 ) ^{2}},$

toujours strictement positive : $h$ est strictement croissante.

4. Composée. Avec $u = x^{2} + 1$ et $n = 3$ : $k^{'} (x) = 3 \times 2 x \times (x^{2} + 1)^{2} = 6 x (x^{2} + 1)^{2}$ .

Le piège du 2. $g^{'} (x) = 2 \times 2 x = 4 x$ serait dériver terme à terme : le développement $g (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 6 x - 3$ redonne bien $6 x^{2} + 2 x - 6$ .

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