Quatre dérivées

La fonction $f$ : somme et multiplication par une constante. On applique $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ terme à terme : $$f^{\prime }(x)=15x^2-4x+7.$$ La constante $-1$ a une dérivée nulle.

La fonction $g$ : règle du produit. Avec $u=x-3$ et $v=2x+5$, donc $u^{\prime }=1$ et $v^{\prime }=2$ : $$g^{\prime }(x)=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }=1\times (2x+5)+(x-3)\times 2=4x-1.$$ Contrôle : en développant d'abord, $g(x)=2x^2-x-15$, dont la dérivée est bien $4x-1$. Les deux chemins concordent.

La fonction $h$ : règle du quotient. Avec $u=x+1$ et $v=x-4$, donc $u^{\prime }=1$ et $v^{\prime }=1$ : $$h^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}=\frac{1\times (x-4)-(x+1)\times 1}{(x-4{)}^2}=\frac{-5}{(x-4{)}^2}.$$ Le numérateur est constant : la fonction est décroissante sur tout l'intervalle.

La fonction $k$ : règle de la composée. Avec $u=3x+2$ et $n=4$, la règle $(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$ donne $$k^{\prime }(x)=4\times 3\times (3x+2{)}^3=12(3x+2{)}^3.$$ Le facteur $u^{\prime }=3$ est celui qu'on oublie le plus souvent : sans lui on écrirait $4(3x+2{)}^3$, qui est faux.