Quatre dérivées, quatre règles

La fonction $f$ : règle du quotient. Avec $u=2x^2-1$ et $v=x^2+3$, on a $u^{\prime }=4x$ et $v^{\prime }=2x$. Le dénominateur ne s'annule jamais, donc $$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}=\frac{4x(x^2+3)-(2x^2-1)2x}{(x^2+3{)}^2}.$$ On développe le numérateur : $4x^3+12x-4x^3+2x=14x$. Donc $$f^{\prime }(x)=\frac{14x}{(x^2+3{)}^2}.$$ L'ordre des deux termes du numérateur n'est pas indifférent : l'inverser changerait tous les signes.

La fonction $g$ : règle de la composée. Avec $u=3x-4$ et $n=4$, la règle $(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$ donne $$g^{\prime }(x)=4\times 3\times (3x-4{)}^3=12(3x-4{)}^3.$$ Le facteur $u^{\prime }=3$ est celui que l'on oublie le plus souvent.

La fonction $h$ : règle du produit. Avec $u=x$ et $v=\sqrt{x}$, on a $u^{\prime }=1$ et $v^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, valable pour $x>0$ : $$h^{\prime }(x)=1\times \sqrt{x}+x\times \frac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2}=\frac{3\sqrt{x}}{2},$$ en employant $\frac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}$.

La fonction $k$ : règle du quotient, cas d'un numérateur constant. Avec $u=5$ et $v=x^2+1$, on a $u^{\prime }=0$ et $v^{\prime }=2x$ : $$k^{\prime }(x)=\frac{0\times (x^2+1)-5\times 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{-10x}{(x^2+1{)}^2}.$$

Contrôle de cohérence. $f^{\prime }$ et $k^{\prime }$ s'annulent toutes deux en $x=0$, ce qui est attendu : les deux fonctions sont paires, donc leurs courbes ont une tangente horizontale sur l'axe de symétrie.