Quatre dérivées, quatre règles

Un produit. Avec $u(x)=2x^2-3x$, $u^{\prime }(x)=4x-3$, $v(x)=x+5$ et $v^{\prime }(x)=1$, la règle $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ donne $$f^{\prime }(x)=(4x-3)(x+5)+(2x^2-3x)\times 1=4x^2+17x-15+2x^2-3x=6x^2+14x-15.$$ Contrôle. En développant d'abord, $f(x)=2x^3+7x^2-15x$, dont la dérivée est bien $6x^2+14x-15$.

Un quotient. Avec $u(x)=x^2+1$, $u^{\prime }(x)=2x$, $v(x)=2x-3$ et $v^{\prime }(x)=2$, la règle ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ donne $$g^{\prime }(x)=\frac{2x(2x-3)-2(x^2+1)}{(2x-3{)}^2}=\frac{4x^2-6x-2x^2-2}{(2x-3{)}^2}=\frac{2x^2-6x-2}{(2x-3{)}^2}.$$ L'ordre des deux termes du numérateur n'est pas décoratif : l'inverser changerait tous les signes.

Une puissance de fonction. Avec $u(x)=4-3x$ et $u^{\prime }(x)=-3$, la règle $(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$ donne $$h^{\prime }(x)=5\times (-3)\times (4-3x{)}^4=-15(4-3x{)}^4.$$ Le facteur $u^{\prime }=-3$ est celui qu'on oublie.

Un quotient à numérateur constant. Avec $u(x)=5$, $u^{\prime }(x)=0$, $v(x)=x^2+1$ et $v^{\prime }(x)=2x$ : $$k^{\prime }(x)=\frac{0\times (x^2+1)-5\times 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{-10x}{(x^2+1{)}^2}.$$

Le point à retenir. Chaque règle se pose en nommant $u$ et $v$ avant de calculer : c'est ce qui évite la faute classique $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }{v}^{\prime }$. Et quand le développement est possible, il fournit un contrôle gratuit du résultat.