Quatre dérivées, quatre règles

Un produit. Avec $u (x) = 2 x^{2} - 3 x$ , $u^{'} (x) = 4 x - 3$ , $v (x) = x + 5$ et $v^{'} (x) = 1$ , la règle $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ donne $f^{'} (x) = (4 x - 3) (x + 5) + (2 x^{2} - 3 x) \times 1 = 4 x^{2} + 17 x - 15 + 2 x^{2} - 3 x = 6 x^{2} + 14 x - 15.$ Contrôle. En développant d'abord, $f (x) = 2 x^{3} + 7 x^{2} - 15 x$ , dont la dérivée est bien $6 x^{2} + 14 x - 15$ .

Un quotient. Avec $u (x) = x^{2} + 1$ , $u^{'} (x) = 2 x$ , $v (x) = 2 x - 3$ et $v^{'} (x) = 2$ , la règle $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ donne $g^{'} (x) = \frac{2 x ( 2 x - 3 ) - 2 ( x ^{2} + 1 )}{( 2 x - 3 ) ^{2}} = \frac{4 x ^{2} - 6 x - 2 x ^{2} - 2}{( 2 x - 3 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{2} - 6 x - 2}{( 2 x - 3 ) ^{2}} .$ L'ordre des deux termes du numérateur n'est pas décoratif : l'inverser changerait tous les signes.

Une puissance de fonction. Avec $u (x) = 4 - 3 x$ et $u^{'} (x) = - 3$ , la règle $(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}$ donne $h^{'} (x) = 5 \times (- 3) \times (4 - 3 x)^{4} = - 15 (4 - 3 x)^{4} .$ Le facteur $u^{'} = - 3$ est celui qu'on oublie.

Un quotient à numérateur constant. Avec $u (x) = 5$ , $u^{'} (x) = 0$ , $v (x) = x^{2} + 1$ et $v^{'} (x) = 2 x$ : $k^{'} (x) = \frac{0 \times ( x ^{2} + 1 ) - 5 \times 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{- 10 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} .$

Le point à retenir. Chaque règle se pose en nommant $u$ et $v$ avant de calculer : c'est ce qui évite la faute classique $(uv)^{'} = u^{'} v^{'}$ . Et quand le développement est possible, il fournit un contrôle gratuit du résultat.

Énoncé

Corrigé

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