Tangente et position

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 5 — Dérivation et convexité · Nombre dérivé, tangente et approximation affine

Énoncé

Soit $f (x) = x^{2} - 4 x + 7$ . Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $3$ , puis étudier la position de la courbe par rapport à $T$ .

Corrigé

La tangente. $f (3) = 9 - 12 + 7 = 4$ et $f^{'} (x) = 2 x - 4$ donne $f^{'} (3) = 2$ . Donc

$T : y = 4 + 2 (x - 3) = 2 x - 2.$

La position. On étudie la différence :

$f (x) - (2 x - 2) = x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2} \geq 0.$

La courbe est donc au-dessus de sa tangente partout, et ne la touche qu'en $x = 3$ . C'est ce qu'annonçait le cours, puisque $f^{''} (x) = 2 > 0$ rend $f$ convexe.

Contrôle. En $x = 5$ : $f (5) = 12$ , $T$ donne $8$ , écart $4 = (5 - 3)^{2}$ .

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