Un nombre dérivé par la définition

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 5 — Dérivation et convexité · Nombre dérivé, tangente et approximation affine

Énoncé

Soit $f (x) = x^{2}$ . Calculer le taux d'accroissement de $f$ entre $3$ et $3 + h$ , puis en déduire $f^{'} (3)$ . Donner l'équation de la tangente en $3$ .

Corrigé

Le taux. Pour $h \neq = 0$ :

$\frac{f ( 3 + h ) - f ( 3 )}{h} = \frac{( 3 + h ) ^{2} - 9}{h} = \frac{9 + 6 h + h ^{2} - 9}{h} = \frac{h ( 6 + h )}{h} = 6 + h .$

La limite. Quand $h$ tend vers $0$ , $6 + h$ tend vers $6$ , donc $f^{'} (3) = 6$ ; et comme $f (3) = 9$ , la tangente est $y = 9 + 6 (x - 3) = 6 x - 9$ .

Contrôle. Pour $h = 0, 1$ le taux vaut $6, 1$ , pour $h = 0, 01$ il vaut $6, 01$ : on voit la limite arriver.

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