Un nombre dérivé par la définition

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 5 — Dérivation et convexité · Nombre dérivé et tangente

Énoncé

Soit $f (x) = x^{3}$ .

1. Écrire le taux d'accroissement de $f$ entre $2$ et $2 + h$ , puis le simplifier. 2. En déduire $f^{'} (2)$ par la définition. 3. Donner l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$ .

Corrigé

1. Le taux d'accroissement. Par définition, pour $h \neq = 0$ , $τ (h) = \frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h} = \frac{( 2 + h ) ^{3} - 8}{h} .$ Développons le cube : $(2 + h)^{3} = (2 + h) (2 + h)^{2} = (2 + h) (4 + 4 h + h^{2}) = 8 + 12 h + 6 h^{2} + h^{3} .$ Le numérateur vaut donc $12 h + 6 h^{2} + h^{3} = h (12 + 6 h + h^{2})$ . Comme $h \neq = 0$ , on simplifie : $τ (h) = 12 + 6 h + h^{2} .$

Le mécanisme est là : on simplifie par $h$ avant de faire tendre $h$ vers $0$ . Sans cette simplification on tomberait sur la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ , qui ne dit rien.

2. Le nombre dérivé. Quand $h$ tend vers $0$ , $6 h$ et $h^{2}$ tendent vers $0$ , donc $f^{'} (2) = h \to 0 lim (12 + 6 h + h^{2}) = 12.$

Contrôle par la formule. La dérivée de $x^{n}$ est $n x^{n - 1}$ , donc $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ et $f^{'} (2) = 3 \times 4 = 12$ . Les deux chemins concordent.

3. La tangente. Le cours donne $y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$ avec $a = 2$ , $f (2) = 8$ et $f^{'} (2) = 12$ : $y = 8 + 12 (x - 2) = 12 x - 16.$ Contrôle : en $x = 2$ la droite vaut $24 - 16 = 8$ , c'est bien $f (2)$ ; elle passe donc par le point de contact, comme il se doit.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.