Un point d'inflexion

1. Les deux dérivées. On dérive une première fois terme à terme : $$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+4.$$ Puis on dérive $f^{\prime }$, qui est elle-même polynomiale : $$f^{\prime \prime }(x)=6x-12=6(x-2).$$

2. Le signe et la convexité. $f^{\prime \prime }$ est une fonction affine de coefficient $6>0$ : elle s'annule en $x=2$, elle est négative avant, positive après. $$f^{\prime \prime }(x)<0\text{ sur }\left]-\infty ;2\right[,f^{\prime \prime }(x)>0\text{ sur }\left]2;+\infty \right[.$$ Donc $f$ est concave sur $\left]-\infty ;2\right]$ et convexe sur $\left[2;+\infty \right[$.

3. Le point d'inflexion. La dérivée seconde s'annule en $2$ en changeant de signe : c'est bien un point d'inflexion, la courbe y traversant sa tangente. Son ordonnée vaut $$f(2)=8-24+8+1=-7.$$ Le point d'inflexion est donc $I(2;-7)$.

Le contrôle à ne pas oublier. Il ne suffit pas que $f^{\prime \prime }$ s'annule : il faut qu'elle change de signe. Pour $g(x)=x^4$, par exemple, $g^{\prime \prime }(x)=12x^2$ s'annule en $0$ sans changer de signe, et la courbe n'a aucun point d'inflexion — elle reste convexe partout.