Un tableau de variation complet

1. La dérivée factorisée. On dérive terme à terme : $$f^{\prime }(x)=6x^2-18x+12=6(x^2-3x+2).$$ Le trinôme entre parenthèses a pour discriminant $\Delta =9-8=1$, donc pour racines $\frac{3-1}{2}=1$ et $\frac{3+1}{2}=2$. Ainsi $$f^{\prime }(x)=6(x-1)(x-2).$$

2. Le tableau de variation. Le coefficient dominant de $f^{\prime }$ est $6>0$, donc $f^{\prime }$ est positive à l'extérieur de ses racines et négative entre elles :

$f^{\prime }(x)>0$ sur $\left]-\infty ;1\right[$, $f^{\prime }(x)<0$ sur $\left]1;2\right[$, $f^{\prime }(x)>0$ sur $\left]2;+\infty \right[$.

Par le théorème liant le signe de la dérivée au sens de variation, $f$ est donc croissante sur $\left]-\infty ;1\right]$, décroissante sur $[1;2]$, puis croissante sur $\left[2;+\infty \right[$. Les valeurs aux points où $f^{\prime }$ s'annule sont $$f(1)=2-9+12-4=1,f(2)=16-36+24-4=0.$$ Enfin, $f$ étant polynomiale de monôme dominant $2x^3$, elle tend vers $-\infty$ en $-\infty$ et vers $+\infty$ en $+\infty$.

3. Les extremums. En $x=1$, $f^{\prime }$ s'annule en passant du $+$ au $-$ : $f$ y admet un maximum local, égal à $1$. En $x=2$, $f^{\prime }$ passe du $-$ au $+$ : $f$ y admet un minimum local, égal à $0$.

Aucun des deux n'est global : $f$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$, donc elle dépasse $1$ — par exemple $f(4)=128-144+48-4=28$ ; et elle tend vers $-\infty$ en $-\infty$, donc elle descend sous $0$ — par exemple $f(0)=-4$.