Un tableau de variation complet

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 5 — Dérivation et convexité · Variations et optimisation

Énoncé

Soit $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$ sur $R$ . Calculer $f^{'}$ , la factoriser, étudier son signe et dresser le tableau de variation de $f$ . Préciser les extremums locaux.

Corrigé

La dérivée. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 3 (x^{2} - 2 x - 3)$ . Le trinôme $x^{2} - 2 x - 3$ a pour racines $- 1$ et $3$ (leur somme vaut $2$ , leur produit $- 3$ ), donc

$f^{'} (x) = 3 (x + 1) (x - 3) .$

Le signe. Un produit de deux facteurs du premier degré est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles : $f^{'} > 0$ sur $] - \infty, - 1 [$ , $f^{'} < 0$ sur $] - 1, 3 [$ , $f^{'} > 0$ sur $] 3, + \infty [$ .

Le tableau. $f$ croît sur $] - \infty, - 1]$ , décroît sur $[- 1, 3]$ , croît sur $[3, + \infty [$ , avec $f (- 1) = - 1 - 3 + 9 + 5 = 10$ (maximum local) et $f (3) = 27 - 27 - 27 + 5 = - 22$ (minimum local).

Local, et pas global. Comme $f$ tend vers $+ \infty$ en $+ \infty$ , la valeur $10$ n'est pas le maximum de $f$ sur $R$ : le mot « local » n'est pas décoratif.

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