Un tableau de variation complet

La dérivée. $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)$. Le trinôme $x^2-2x-3$ a pour racines $-1$ et $3$ (leur somme vaut $2$, leur produit $-3$), donc

$$f^{\prime }(x)=3(x+1)(x-3).$$

Le signe. Un produit de deux facteurs du premier degré est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles : $f^{\prime }>0$ sur $]-\infty ,-1[$, $f^{\prime }<0$ sur $]-1,3[$, $f^{\prime }>0$ sur $]3,+\infty [$.

Le tableau. $f$ croît sur $]-\infty ,-1]$, décroît sur $[-1,3]$, croît sur $[3,+\infty [$, avec $f(-1)=-1-3+9+5=10$ (maximum local) et $f(3)=27-27-27+5=-22$ (minimum local).

Local, et pas global. Comme $f$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$, la valeur $10$ n'est pas le maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$ : le mot « local » n'est pas décoratif.