Un tableau de variation

1. La dérivée et son signe. On dérive terme à terme : $$f^{\prime }(x)=2x-8=2(x-4).$$ C'est une fonction affine de coefficient $2>0$ : elle s'annule en $x=4$, elle est négative avant et positive après.

2. Le tableau de variation. Par le théorème liant le signe de la dérivée au sens de variation :

$f$ est strictement décroissante sur $\left]-\infty ;4\right]$, puis strictement croissante sur $\left[4;+\infty \right[$. La valeur au point de changement est $$f(4)=16-32+3=-13.$$ Aux bornes, $f$ étant polynomiale de monôme dominant $x^2$, elle tend vers $+\infty$ en $-\infty$ comme en $+\infty$.

3. L'extremum. La dérivée s'annule en $4$ en changeant de signe, du $-$ au $+$ : $f$ y admet donc un minimum. Comme la fonction décroît sur tout ce qui précède et croît sur tout ce qui suit, ce minimum est global : $$f(x)\ge -13\text{pour tout reˊel }x.$$

Contrôle par le second degré. Le sommet de la parabole est en $-\frac{b}{2a}=\frac{8}{2}=4$, et l'ordonnée du sommet vaut $-13$. La dérivée retrouve exactement ce que le chapitre du second degré donnait directement.