Une courbe et ses tangentes

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 5 — Dérivation et convexité · Convexité et point d'inflexion

Énoncé

Soit $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = - x^{2} + 4 x$ .

Montrer que la courbe de $f$ est au-dessus de sa tangente en $1$ , puis de sa tangente en $3$ .
Montrer que la courbe de $g$ est au-dessous de sa tangente en $1$ .
Que peut-on en conclure sur la convexité de chacune ?

Corrigé

1. Deux tangentes de $f$ . $f^{'} (x) = 2 x$ .

En $a = 1$ : $f (1) = 1$ , $f^{'} (1) = 2$ , tangente $y = 2 x - 1$ . Alors

$f (x) - (2 x - 1) = x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2} \geq 0.$

En $a = 3$ : $f (3) = 9$ , $f^{'} (3) = 6$ , tangente $y = 6 x - 9$ , et $f (x) - (6 x - 9) = x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2} \geq 0$ . Dans les deux cas la courbe est au-dessus et ne touche la tangente qu'au point de contact.

2. La tangente de $g$ . $g^{'} (x) = - 2 x + 4$ , $g (1) = 3$ , $g^{'} (1) = 2$ , tangente $y = 2 x + 1$ , et $g (x) - (2 x + 1) = - (x - 1)^{2} \leq 0$ : la courbe est au-dessous.

3. Conclusion. $f^{''} = 2 > 0$ : $f$ est convexe, donc au-dessus de ses tangentes. $g^{''} = - 2 < 0$ : $g$ est concave, donc au-dessous. Les calculs illustrent la proposition du cours sur deux cas vérifiables à la main.

Le motif. Les trois calculs retombent sur un carré $\pm (x - a)^{2}$ : pour un trinôme, l'écart à la tangente en $a$ vaut toujours le coefficient dominant multiplié par $(x - a)^{2}$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.