Une dérivée nulle sans extremum

1. La dérivée. On dérive terme à terme : $$f^{\prime }(x)=3x^2-6x+3=3(x^2-2x+1).$$ Le trinôme $x^2-2x+1$ est l'identité remarquable $(x-1{)}^2$ — on le confirme par le discriminant, $\Delta =4-4=0$, qui annonce une racine double en $x=\frac{2}{2}=1$. Donc $$f^{\prime }(x)=3(x-1{)}^2.$$

2. Le sens de variation. Un carré est toujours positif ou nul, donc $f^{\prime }(x)\ge 0$ sur $\mathbb{R}$ tout entier, et $f^{\prime }$ ne s'annule qu'en $x=1$, c'est-à-dire en un seul point. Le principe de Lagrange donne alors une croissance stricte : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

3. Pas d'extremum, mais une inflexion. Le théorème du cours exige, pour conclure à un extremum, que $f^{\prime }$ s'annule en changeant de signe. Ici $f^{\prime }$ s'annule en $1$ mais reste positive de part et d'autre : elle ne change pas de signe. Il n'y a donc aucun extremum en $1$.

C'est exactement la situation annoncée par le cours : « $f^{\prime }(a)=0$ » est une condition nécessaire d'extremum local, elle n'est pas suffisante.

Calculons la dérivée seconde pour décrire la courbe : $$f^{\prime \prime }(x)=6x-6=6(x-1),$$ qui s'annule en $1$ en changeant de signe, du $-$ au $+$. Le point d'abscisse $1$ est donc un point d'inflexion : $f$ y passe de concave à convexe. Son ordonnée est $f(1)=1-3+3+1=2$, et la tangente en ce point est horizontale, d'équation $y=2$.

La courbe traverse donc sa tangente horizontale sans s'y arrêter — une tangente horizontale n'est pas toujours le signe d'un sommet.