Une dérivée qui se factorise

1. La dérivée. Règle du quotient, avec $u=x^2+3$ et $v=x-1$, donc $u^{\prime }=2x$ et $v^{\prime }=1$. Sur $I$ le dénominateur ne s'annule pas : $$f^{\prime }(x)=\frac{2x(x-1)-(x^2+3)\times 1}{(x-1{)}^2}=\frac{2x^2-2x-x^2-3}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}.$$ Le numérateur est un trinôme de discriminant $\Delta =4+12=16$, de racines $\frac{2-4}{2}=-1$ et $\frac{2+4}{2}=3$. Comme son coefficient dominant vaut $1$, il se factorise en $(x-3)(x+1)$, d'où $$f^{\prime }(x)=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}.$$

Pourquoi factoriser. Le signe d'une somme ne se lit pas ; celui d'un produit se lit d'un coup. C'est l'étape sans laquelle le tableau de variation est hors d'atteinte.

2. Le signe et les variations. Sur $I$, le dénominateur $(x-1{)}^2$ est strictement positif : le signe de $f^{\prime }$ est donc celui de $(x-3)(x+1)$. Or sur $I$ on a $x>1$, donc $x+1>2>0$ : le signe se réduit à celui de $x-3$.

Ainsi $f^{\prime }(x)<0$ sur $\left]1;3\right[$, $f^{\prime }(3)=0$, et $f^{\prime }(x)>0$ sur $\left]3;+\infty \right[$. La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $\left]1;3\right]$, puis strictement croissante sur $\left[3;+\infty \right[$.

3. Le minimum. La dérivée s'annule en $3$ en changeant de signe, du moins au plus : $f$ y admet un minimum, et il est global sur $I$ puisque la fonction décroît avant et croît après. $$f(3)=\frac{9+3}{3-1}=\frac{12}{2}=6.$$ Le minimum de $f$ sur $I$ vaut donc $6$, atteint en $x=3$.

Contrôle de part et d'autre : $f(2)=\frac{7}{1}=7$ et $f(5)=\frac{28}{4}=7$. Les deux valeurs encadrantes dépassent bien $6$.