Une somme et son inverse

1. La dérivée. La dérivée de $\frac{1}{x}$ est $-\frac{1}{x^2}$, donc celle de $\frac{4}{x}$ est $-\frac{4}{x^2}$, et $$f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x^2}.$$

2. Les variations. Sur $I$, le dénominateur $x^2$ est strictement positif et le facteur $x+2$ dépasse $2$, donc le signe de $f^{\prime }$ est celui de $x-2$ : $$f^{\prime }(x)<0\text{ sur }\left]0;2\right[,f^{\prime }(2)=0,f^{\prime }(x)>0\text{ sur }\left]2;+\infty \right[.$$ La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $\left]0;2\right]$, puis strictement croissante sur $\left[2;+\infty \right[$, et $$f(2)=2+\frac{4}{2}=4.$$

3. L'inégalité. La dérivée s'annule en $2$ en passant du $-$ au $+$ : $f$ y admet un minimum, et ce minimum est global sur $I$, puisque la fonction décroît sur tout ce qui précède et croît sur tout ce qui suit. Donc $$f(x)\ge f(2)=4\text{pour tout }x>0,$$ c'est-à-dire $x+\frac{4}{x}\ge 4$, avec égalité si et seulement si $x=2$.

Contrôle. $x=1$ donne $5\ge 4$ ; $x=4$ donne $5\ge 4$ ; $x=2$ donne exactement $4$. On remarque au passage que $1$ et $4$ donnent la même valeur, ce qui est cohérent avec la forme de la courbe : elle descend puis remonte de part et d'autre de $2$.