Une tangente à calculer

Dérivation et convexité · Tangentes · niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ .

1. Calculer $f^{'} (x)$ , puis $f (4)$ et $f^{'} (4)$ . 2. Donner l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $4$ . 3. En quel point la tangente est-elle horizontale ?

Corrigé

1. Dérivée et valeurs. On dérive terme à terme, avec $(x^{2})^{'} = 2 x$ , $(- 6 x)^{'} = - 6$ et $(5)^{'} = 0$ : $f^{'} (x) = 2 x - 6.$ Puis $f (4) = 16 - 24 + 5 = - 3, f^{'} (4) = 8 - 6 = 2.$

2. La tangente. Le cours donne $y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$ avec $a = 4$ : $y = - 3 + 2 (x - 4) = 2 x - 11.$

Contrôle : en $x = 4$ la droite vaut $8 - 11 = - 3$ , qui est bien $f (4)$ . La tangente passe par le point de contact — c'est le premier contrôle à faire, et il attrape presque toutes les erreurs de signe.

3. La tangente horizontale. Une tangente est horizontale lorsque son coefficient directeur est nul, c'est-à-dire lorsque $f^{'} (x) = 0$ : $2 x - 6 = 0 ⟺ x = 3.$ L'ordonnée correspondante est $f (3) = 9 - 18 + 5 = - 4$ . Le point cherché est donc $(3; - 4)$ , et la tangente y a pour équation $y = - 4$ .

C'est le sommet de la parabole, ce que confirme la formule $- \frac{b}{2 a} = \frac{6}{2} = 3$ .

Énoncé

Corrigé

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