« Au moins un » par le contraire

Notons $C_k$ l'événement « la $k$-ième pièce est conforme », pour $k=1,\dots ,4$. Ces quatre événements sont mutuellement indépendants et $P(C_k)=0,97$ pour chacun.

1. Les quatre conformes. La probabilité de l'intersection d'événements mutuellement indépendants est le produit des probabilités : $$P(C_1\cap C_2\cap C_3\cap C_4)=0,97^4.$$ Calculons : $0,97^2=0,9409$, puis $0,97^4=0,9409^2\approx 0,88529$. Donc environ $0,885$.

2. Au moins une non conforme. C'est l'événement contraire du précédent : « au moins une non conforme » et « toutes conformes » ne peuvent pas se produire ensemble, et l'un des deux se produit toujours. Donc $$P(\text{au moins une non conforme})=1-0,88529\approx 0,115.$$

Pourquoi passer par le contraire. Le calcul direct exigerait d'additionner les cas « exactement une », « exactement deux », « exactement trois » et « quatre » non conformes — quatre calculs au lieu d'un. C'est le réflexe le plus rentable du chapitre : devant « au moins un », on écrit $1-P(\text{aucun})$.

Une lecture utile. Une machine excellente — $97\%$ de conformité — produit tout de même un lot de quatre contenant un défaut plus d'une fois sur neuf.