Avec remise ou sans remise

Dans les deux cas, « au moins une défectueuse » se traite par l'événement contraire : « les deux sont bonnes ». Le lot compte $6$ pièces bonnes et $2$ défectueuses.

1. Avec remise. La composition du lot est la même aux deux tirages, et les deux tirages sont indépendants : $$P(\text{deux bonnes})=\frac{6}{8}\times \frac{6}{8}=\frac{9}{16},P(\text{au moins une deˊfectueuse})=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}=0,4375.$$

Sans remise. La première branche de l'arbre porte $\frac{6}{8}$, mais la seconde est conditionnelle : il ne reste que $7$ pièces, dont $5$ bonnes. $$P(\text{deux bonnes})=\frac{6}{8}\times \frac{5}{7}=\frac{30}{56}=\frac{15}{28},P(\text{au moins une deˊfectueuse})=1-\frac{15}{28}=\frac{13}{28}\approx 0,464.$$

2. Le risque est plus grand sans remise : $\frac{13}{28}\approx 0,464>0,4375$. Retirer une pièce bonne augmente la proportion de défectueuses dans ce qui reste ($\frac{2}{7}>\frac{2}{8}$).

3. C'est précisément la probabilité conditionnelle portée par la seconde branche de l'arbre. En notant $G_1$ « la première pièce est bonne » et $D_2$ « la seconde est défectueuse » : $$P_{G_1}(D_2)=\frac{2}{7}\approx 0,286,$$ car après le retrait d'une pièce bonne il reste $7$ pièces, dont $2$ défectueuses.

Le point à retenir. Un arbre pondéré porte des probabilités conditionnelles sur ses branches secondaires. C'est là toute la différence entre les deux tirages : avec remise, les branches se répètent à l'identique ; sans remise, elles changent, et l'indépendance disparaît.