Décrire un univers

1. En extension. $$\Omega =\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\},$$ $$A=\{1,3,5,7,9\},B=\{7,8,9,10\}.$$

2. Les opérations. L'intersection réunit les numéros qui sont dans les deux listes : $$A\cap B=\{7,9\}.$$ La réunion réunit ceux qui sont dans l'une au moins, chacun compté une seule fois : $$A\cup B=\{1,3,5,7,8,9,10\}.$$ Le contraire de $A$ est formé des éléments de $\Omega$ qui n'y sont pas : $$\overline{A}=\{2,4,6,8,10\}.$$

3. Non, ils ne sont pas incompatibles. Deux événements sont incompatibles lorsque $A\cap B=\varnothing$, c'est-à-dire lorsqu'ils ne peuvent pas se produire ensemble. Or ici $A\cap B=\{7,9\}$ n'est pas vide : le dossier numéro $7$ réalise les deux à la fois.

Contrôle des cardinaux. $\mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B)-\mathrm{Card}(A\cap B)=5+4-2=7$, et $A\cup B$ compte bien $7$ éléments. La formule de Poincaré est vérifiée.