Décrire un univers

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 6 — Probabilités sur un univers fini · Univers et événements

Énoncé

Une agence tire au hasard un dossier parmi $10$ , numérotés de $1$ à $10$ . On note $A$ « le numéro est impair » et $B$ « le numéro est supérieur ou égal à $7$ ».

1. Écrire $Ω$ , $A$ et $B$ en extension. 2. Écrire $A \cap B$ , $A \cup B$ et $A$ . 3. $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ?

Corrigé

1. En extension. $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},$ $A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {7, 8, 9, 10} .$

2. Les opérations. L'intersection réunit les numéros qui sont dans les deux listes : $A \cap B = {7, 9} .$ La réunion réunit ceux qui sont dans l'une au moins, chacun compté une seule fois : $A \cup B = {1, 3, 5, 7, 8, 9, 10} .$ Le contraire de $A$ est formé des éléments de $Ω$ qui n'y sont pas : $A = {2, 4, 6, 8, 10} .$

3. Non, ils ne sont pas incompatibles. Deux événements sont incompatibles lorsque $A \cap B = \emptyset$ , c'est-à-dire lorsqu'ils ne peuvent pas se produire ensemble. Or ici $A \cap B = {7, 9}$ n'est pas vide : le dossier numéro $7$ réalise les deux à la fois.

Contrôle des cardinaux. $Card (A) + Card (B) - Card (A \cap B) = 5 + 4 - 2 = 7$ , et $A \cup B$ compte bien $7$ éléments. La formule de Poincaré est vérifiée.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.